Cada media pílula da caixa procede da división dalgunha das n pílulas iniciais. Chamaremos media pílula k á que foi xerada no posto k entre 1 e n. Cando se xera a media pílula k, na caixa quedan n-k pílulas enteiras. Se consideramos o conxunto formado por esas n-k pílulas enteiras máis a media pílula k, a probabilidade de que cada unha sexa a derradeira (entre elas) en ser collida é igual para todas, e polo tanto 1/(n- k+1); esa é porén a probabilidade de que a media pílula k sexa a derradeira delas e permaneza na caixa cando xa non quedan pílulas enteiras.

Se consideramos a variable artificial X k =1 se a media pílula k queda aínda na Caixa cando xa non hai pílulas enteiras, e 0 en outro caso, o número esperado de medias pílulas buscado será:

E(X1 + X2 + … + Xn ) = E(X1 ) + E(X2 ) +… + E(Xn ) = 1/n +1/(n-1) +1/(n-2)+…+1/2 + 1  =  1/15 + 1/14 +….. + 1/2 + 1  =  3,3182

[Un problema similar foi proposto e analizado, en Abril de 2014, por Daniel Velleman, quen foi editor de “American Mathematical Monthly” entre 2007 e 2011]

 

2019  SGAPEIO   globbers joomla templates