Cada media pílula da caixa procede da división dalgunha das n pílulas iniciais. Chamaremos media pílula k á que foi xerada no posto k entre 1 e n. Cando se xera a media pílula k, na caixa quedan n-k pílulas enteiras. Se consideramos o conxunto formado por esas n-k pílulas enteiras máis a media pílula k, a probabilidade de que cada unha sexa a derradeira (entre elas) en ser collida é igual para todas, e polo tanto 1/(n- k+1); esa é porén a probabilidade de que a media pílula k sexa a derradeira delas e permaneza na caixa cando xa non quedan pílulas enteiras.
Se consideramos a variable artificial X k =1 se a media pílula k queda aínda na Caixa cando xa non hai pílulas enteiras, e 0 en outro caso, o número esperado de medias pílulas buscado será:
E(X1 + X2 + … + Xn ) = E(X1 ) + E(X2 ) +… + E(Xn ) = 1/n +1/(n-1) +1/(n-2)+…+1/2 + 1 = 1/15 + 1/14 +….. + 1/2 + 1 = 3,3182
[Un problema similar foi proposto e analizado, en Abril de 2014, por Daniel Velleman, quen foi editor de “American Mathematical Monthly” entre 2007 e 2011]
{backbutton}
INFORMEST. Boletín da SGAPEIO. Novembro de 2019. Número 53
Colaboración
software
Actividades da SGAPEIO
Novas do IGE
Traballos de Estatística e IO
Coñecéndonos
Estatística recreativa
Xa están dispoñibles na web da Xornada de formación SGAPEIO-AGAPEMA 2019 os materiais da mesma.
Asistentes a xornada 9.11.2019, na Facultade de Matemáticas da USC.
Non hai ningún erro no cálculo, pero a súa interpretación é unha tontería. Cando se combinan as distintas probabilidades, estamos calculando a probabilidade de extraer un coello negro, sobre todas as combinacións posibles de coellos.
É falaz imaxinar que esta probabilidade é válida para calquera combinación específica. A falacia é evidente se só hai un coello no chapeu. Cun coello, un argumento similar (ignorando engadir e quitar un coello negro, que non cambia nada esencial) é o seguinte:
O chapeu contén N ou B, cada un con probabilidade 1/2. A probabilidade de extraer un coello negro é por tanto
1/2 x 1 + 1/2 x 0
que é exactamente 1/2.
Por tanto (realmente) a metade dos coellos no chapeu son negros, e a outra metade son brancos. Pero só hai un coello no chapeu ...
Referencias:
Ian Stewart (2008). Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities. Basic Books. United States.
{backbutton}