Se aceptamos que as ovellas balan de xeito aleatorio e independente, o número total de ovellas negras (ou de ovellas brancas) vai cambiando aleatoriamente no tempo, e este proceso (cando non interveñen os veciños) é una cadea de Markov nun espazo finito con dous estados absorbentes ou finais: só quedan ovellas brancas ou só quedan ovellas negras.
O proceso levará inevitablemente a un deses dous estados absorbentes, e o máximo número posible de ovellas negras obtense obviamente cando o proceso finaliza de xeito natural con todas as ovellas negras. Mais os vecinos non teñen a garantía de que o proceso non siga o camiño contrario e todas acaben sendo brancas, e ademais teñen o vicio de comer de vez en cando, reducindo así o número total de ovellas, e o número total de ovellas negras que pretenden conseguir.
Loxicamente só sacrificarán ovellas brancas, e no número mínimo posible, para que poidan transformarse en ovellas negras. A estratexia óptima (D. Williams, Probability with Martingales, 1990) consiste en non facer nada cando as ovellas negras son máis que as brancas, e, en caso contrario, retirar ou sacrificar inmediatamente as ovellas brancas sobrantes deixándoas nunha unidade menos que as negras.
{backbutton}
INFORMEST. Boletín da SGAPEIO. Xullo de 2020. Número 55
Colaboración
Actividades
Novas do IGE
Traballos de Estatística e IO
Coñecéndonos
Estatística recreativa
INFORMEST. Boletín da SGAPEIO. Marzo de 2020. Número 54
Colaboración
Recensión
Actividades da SGAPEIO
Novas do IGE
Traballos de Estatística e IO
Coñecéndonos
Sabías que?
Cada media pílula da caixa procede da división dalgunha das n pílulas iniciais. Chamaremos media pílula k á que foi xerada no posto k entre 1 e n. Cando se xera a media pílula k, na caixa quedan n-k pílulas enteiras. Se consideramos o conxunto formado por esas n-k pílulas enteiras máis a media pílula k, a probabilidade de que cada unha sexa a derradeira (entre elas) en ser collida é igual para todas, e polo tanto 1/(n- k+1); esa é porén a probabilidade de que a media pílula k sexa a derradeira delas e permaneza na caixa cando xa non quedan pílulas enteiras.
Se consideramos a variable artificial X k =1 se a media pílula k queda aínda na Caixa cando xa non hai pílulas enteiras, e 0 en outro caso, o número esperado de medias pílulas buscado será:
E(X1 + X2 + … + Xn ) = E(X1 ) + E(X2 ) +… + E(Xn ) = 1/n +1/(n-1) +1/(n-2)+…+1/2 + 1 = 1/15 + 1/14 +….. + 1/2 + 1 = 3,3182
[Un problema similar foi proposto e analizado, en Abril de 2014, por Daniel Velleman, quen foi editor de “American Mathematical Monthly” entre 2007 e 2011]
{backbutton}